内、外侧度

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内、外侧度

定义

• 设 \(E\subset \mathbb{R}^n\). 若 \(\{I_k\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的可数个开矩体, 且有 $$ E\subset\bigcup\limits_{k\geqslant 1}I_k, $$ 则称 \(\{I_k\}\) 为 \(E\) 的一个L-覆盖. 称 $$ m^(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k\geqslant 1}|I_k|:{I_k}\ \text{为}\ E\ \text{的}\ L\text{-覆盖}\right\rbrace $$ 为点集 \(E\) 的 Lebesgue 外侧度*.

定理 \(\mathbb{R}^n\) 中点集的外侧度性质

• \

  (1) 非负性: \(m^*(E)\geqslant 0\), \(m^*(\varnothing)=0\).
  (2) 单调性: 若 \(E_1\subset E_2\), 则 \(m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2)\).
  (3) 次可列可加性: \(m^*\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k\right)\leqslant\sum\limits_{k=1}^\infty m^*(E_k)\).

引理

• 设 \(E\subset\mathbb{R}^n\), \(\delta>0\), 令 $$ m_\delta^*(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:\bigcup\limits_{k=1}^\infty I_k\supset E,\ \text{每个开矩体的边长}<\delta\right\rbrace, $$ 则 \(m_\delta^*(E)=m^*(E)\).

定理 有限可加性

• 设 \(E_1,E_2\subset\mathbb{R}^n\). 若 \(d(E_1,E_2)=\inf\limits_{\bm x\in E_1}\inf\limits_{\bm y\in E_2}|\bm x-\bm y|>0\) 则 $$ m^(E_1\cup E_2)=m^(E_1)+m^*(E_2). $$

定义

• 设 \(E\subset \mathbb{R}^n\), \(A\) 是开矩体且 \(A\supset E\). 令 $$ m_*(E)=\sup\left\lbrace|A|-\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:{I_k}\ \text{是}\ A\backslash E\ \text{的一个开覆盖}\right\rbrace, $$ 则称 \(m_*(E)\) 为 \(E\) 的内侧度.

显然有 \(m_*(E)=|A|-m^*(A\backslash E)\leqslant m^*(E)\).

定义

• 当 \(m_*(E)=m^*(E)\) 时称 \(E\) 可测, 记作 \(m(E)\).